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By Skoruppa N.-P.

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Ein Polynom, welches nur Monome der Gestalt hi11 · · · hinn enth¨alt, f¨ ur die der Grad i1 + · · · + in stets gleich r ist. Der Satz von Taylor kann nun f¨ ur Funktionen mit Definitionsbereich im Rn mittels des vorletzten Lemmas in der folgenden Form wiederholt werden: Homogene Polynome 58 H¨ ohere Ableitungen Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f ∈ C k (U, R) und a ∈ U . Es sei · eine Norm auf dem Rn und r > 0 so gew¨ ahlt, daß Ur (a) ⊂ U (wobei Ur (a) bez¨ uglich der gew¨ ahlten Norm gebildet ist). Dann gibt es eine Konstante C = C(r), sodaß f¨ ur alle h ∈ Ur (0) gilt: k−1 |f (a + h) − r=0 pr (h1 , .

H. die k-te Ableitung muß nicht unbedingt stetig sein). Wir werden im Folgenden diesen Satz auf den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern. Wie schon in den beiden vorhergehenden Kapiteln bezeichnet X im Folgenden durchgehend einen endlich dimensionalen normierten Vektorraum. Satz. Sei U ⊆ X offen und f ∈ C k (U, R). Sind a ∈ U und h ∈ X, sodaß die Verbindungsstrecke von a nach a + h ganz in U gelegen ist, so gibt es ein 0 < ϑ < 1, sodaß gilt: 1 2 D f (a)(h, h) + · · · 2! 1 1 D(k−1) f (a)hk−1 + Dk f (a + ϑh)(h, .

Ist f hinreichend vern¨ unftig, so wir man also h¨ochstens endlich viele L¨osungen a erwarten. Beispiel. h f (x, y) = px2 + qxy + ry 2 mit Konstanten p, q, r, so ist ∂f (a, b) = 2pa + qb, ∂x ∂f (a, b) = qa + 2rb. ∂x Es liegt also h¨ ochstens dann bei (a, b)t ein lokaler Extremwert vor, wenn 2r q q 2r a b = 0. Ist die Diskriminante q 2 −4pr = 0, so ist nur 0 ein lokaler Extremwert von f . 4 Stetige Differenzierbarkeit Nach den Ergebnissen des letzten Abschnitts k¨onnen wir Ableitungen berechnen, indem wir etwa Jacoi-Matrizen ausrechnen.

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Analysis 2 by Skoruppa N.-P.

by Ronald

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